奧數習題及答案（３）
奧數習題及答案（３）
1. 桌子上放著6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉5只杯子，那么至少翻轉多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？
2. 五（2）班部分學生參加學校舉辦的數學競賽，每張試卷有50道試題。評分標準是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學生得分的總和能不能確定是奇數還是偶數？
3. 把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數都是奇數？試講出理由。
4. 在黑板上寫出三個整數，然后擦去一個換成所剩兩數之和，這樣繼續(xù)操作下去，最后得到88，66，99。問：原來寫的三個整數能否是1，3，5？
5. 70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數的和，這一行數的最左邊的幾個數是這樣的：0，1，3，8，21，…問：最右邊的一個數是奇數還是偶數？
6. 如下圖所示，將1～12順次排成一圈。如果報出一個數a（在1～12之間），那么就從數a的位置順時針走a個數的位置。例如a=3，就從3的位置順時針走3個數的位置到達6的位置；a=11，就從11的位置順時針走11個數的位置到達10的位置。問：a是多少時，可以走到7的位置？
7. 一個正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列（見下圖）。守園人從小屋出發(fā)經過每一棵樹，不重復也不遺漏（不許斜走），最后又回到小屋。可以做到嗎？
答案
1. 解析：
至少3次。例如：
| ↑ | ↑ | ↑ | ↓ | ↓ | ↓ |
| ↑ | ↓ | ↓ | ↑ | ↑ | ↑ |
| ↓ | ↓ | ↑ | ↓ | ↓ | ↓ |
| ↑ | ↑ | ↑ | ↑ | ↑ | ↑ |
2. 解析：
本題要求出這部分學生的總成績是不可能的，所以應從每個人得分的情況入手分析。因為每道題無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數，共有50道題，50個奇數相加減，結果是偶數，所以每個人的得分都是偶數。因為任意個偶數之和是偶數，所以這部分學生的總分必是偶數。
3. 解析：
假設在同一條直線上的紅圈數都是奇數，5條直線上的紅圈總數就會是奇數（奇數乘以奇數仍是奇數）。因為每個紅圈均在兩條直線上，所以按各條直線上的紅圈數計算和時，每個紅圈都被算了兩次，所以紅圈總數應是偶數。這就出現了矛盾。所以假設在同一條直線上的紅圈數都是奇數是不可能的。
4. 解析：
如果原來寫的是1，3，5，那么從第一次改變后，三個數永遠是兩個奇數一個偶數。
5. 解析：
這行數的前面若干個數是：0，1，3，8，21，55，144，377，987，2584，…這些數的奇偶狀況是：偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，……從前到后按一偶二奇的順序循環(huán)出現。70÷3=23……1，第70個數是第24組數的第一個數，是偶數。
6. 解析：
當1≤a≤6時，從a的位置順時針走a個數的位置，應到達
7. 解析：
不可能。
如上圖所示，△表示小木屋。守園人只能黑白相間地走，走過的第奇數棵樹是白的，第偶數棵樹是黑的，走過第48棵樹應是黑的，而黑樹與小木屋不相鄰，無法直接回到小木屋。