整式的乘法與除法
整式的乘法與除法
中學(xué)代數(shù)中的整式是從數(shù)的概念基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，因而保留著許多數(shù)的特征，研究的內(nèi)容與方法也很類似．例如，整式的四則運(yùn)算就可以在許多方面與數(shù)的四則運(yùn)算相類比；也像數(shù)的運(yùn)算在算術(shù)中占有重要的地位一樣，整式的運(yùn)算也是代數(shù)中最基礎(chǔ)的部分，它在化簡(jiǎn)、求值、恒等變形、解方程等問題中有著廣泛的應(yīng)用．通過整式的運(yùn)算，同學(xué)們還可以在準(zhǔn)確地理解整式的有關(guān)概念和法則的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高自己的運(yùn)算能力．為此，本講著重介紹整式運(yùn)算中的乘法和除法．
整式是多項(xiàng)式和單項(xiàng)式的總稱．整式的乘除主要是多項(xiàng)式的乘除．下面先復(fù)習(xí)一下整式計(jì)算的常用公式，然后進(jìn)行例題分析．
正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：
(1)aM· an=aM+n； (2)(ab)n=anbn；
(3)(aM)n=aMn； (4)aM÷an=aM-n(a≠0，m＞n)；
常用的乘法公式：
(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；
(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；
(4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；
(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展開后，x2項(xiàng)的系數(shù) ．
解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因?yàn)?/font>x2項(xiàng)只在-(x-1)3中出現(xiàn)，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2項(xiàng)的系數(shù)即可．根據(jù)乘法公式有
所以x2項(xiàng)的系數(shù)為3．
說明 應(yīng)用乘法公式的關(guān)鍵，是要理解公式中字母的廣泛含義，對(duì)公式中的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、符號(hào)、系數(shù)，不要混淆，要達(dá)到正確、熟練、靈活運(yùn)用的程度，這樣會(huì)給解題帶來極大便利．
(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．
解 原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)
=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)
=13x-7=9-7=2．
說明 注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．
例3 化簡(jiǎn)(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n為大于1的整數(shù)．
解 原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1
+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n
=1+(-x)n．
說明 本例可推廣為一個(gè)一般的形式：
例4 計(jì)算
(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；
(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．
分析與解 (1)這兩個(gè)多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)或者相同或者互為相反數(shù)，所以可考慮應(yīng)用平方差公式，分別把相同項(xiàng)結(jié)合，相反項(xiàng)結(jié)合．
原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2
=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．
(2)(x+2y)(x-2y)的結(jié)果是x2-4y2，這個(gè)結(jié)果與多項(xiàng)式x4-8x2y2+16y4相乘時(shí)，不能直接應(yīng)用公式，但
與前兩個(gè)因式相乘的結(jié)果x2-4y2相乘時(shí)就可以利用立方差公式了．
原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3
=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3
=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．
例5 設(shè)x，y，z為實(shí)數(shù)，且
=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，
解 先將已知條件化簡(jiǎn)：
所以已知條件變形為
即 (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．
因?yàn)?/font>x，y，z均為實(shí)數(shù)，所以x=y=z．所以
說明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所區(qū)別，請(qǐng)仔細(xì)琢磨，靈活運(yùn)用公式，會(huì)給解題帶來益處．
我們把形如
(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多項(xiàng)式．
多項(xiàng)式的除法比較復(fù)雜，為簡(jiǎn)單起見，我們只研究一元多項(xiàng)式的除法．像整數(shù)除法一樣，一元多項(xiàng)式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一個(gè)一元多項(xiàng)式f(x)除以另一個(gè)一元多項(xiàng)式g(x)時(shí)，總存在一個(gè)商式q(x)與一個(gè)余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)．特別地，當(dāng)r(x)=0時(shí)，稱f(x)能被g(x)整除．
例6 設(shè)g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．
解法1 用普通的豎式除法
解法2 用待定系數(shù)法．
由于f(x)為3次多項(xiàng)式，首項(xiàng)系數(shù)為1，而g(x)為2次，首
根據(jù)f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得
比較兩端系數(shù)，得
例7 試確定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．
解 由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若設(shè)
假如f(x)能被x2+3x+2整除，則x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，當(dāng)x=-1時(shí)，f(-1)=0，即
1+a+b+2=0， ①
當(dāng)x=-2時(shí)，f(-2)=0，即
16+4a+2b+2=0， ②
由①，②聯(lián)立，則有
1．計(jì)算：
(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；
(2)(x+y)4(x-y)4；
(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)．
2．化簡(jiǎn)：
(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；
(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；
(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z)．
3．已知z2=x2+y2，化簡(jiǎn)
4．設(shè)f(x)=2x3+3x2-x+2，求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式．