馬芯蘭關于數學教學的改革實驗

馬芯蘭關于數學教學的改革實驗

馬芯蘭 生于1946年12月，北京市人。1966年畢業(yè)于北京第二師范學校。中學高級教師。從1967年至今一直在朝陽區(qū)幸福村中心小學任教。主要著作有：《小學應用題教學中的能力培養(yǎng)》(上下冊)，《小學數學教學改革嘗試》(共四冊)。所寫論文：《兩個學習心理系統的有機結合與學生學習的良性循環(huán)》獲北京市教育學會1985年優(yōu)秀論文一等獎，《改進知識結構，加強能力培養(yǎng)》獲中國教育學會一等獎。先后獲得：北京市自學成才先進、北京市特級教師、北京市特等勞動模范、全國優(yōu)秀教育工作者、全國“五一”勞動證章、北京市有突出貢獻的專家、北京市共產黨員“十杰”之一、全國巾幗建功先進、北京市人民教師“十佳”、全國中青年教師“十杰”等榮譽稱號。

　　記得小時候，當我看到中國被帝國主義侵略，我們的民族慘遭迫害的電影和小說時，我十分氣憤，眼淚不知流了多少。從那時起，我下決心努力學好本領，長大了為祖國多作貢獻，一定要使自己的祖國富強起來。富強了，別人就不敢欺侮了。

　　1967年我當上了一名小學教師。這給我培養(yǎng)祖國未來的建設者提供了極好機會。我下決心把學生教育好，要他們熱愛祖國，為祖國的富強而努力學習。從此我全身心地投入了教學工作，同我的學生朝夕在一起。那時，正值十年動亂，什么“白專道路”、“一長制余毒”、“師道尊嚴”等“帽子”和口號不一而足，滿天飛，把建國17年我國教育事業(yè)抹得一團漆黑，使我國廣大教師無所適從，受到嚴重威脅。對這一切，我沒有怕，也不知道怕，只要讓我上課堂，任憑他人說什么都可以。進了課堂，學生不聽講，我就先給學生講故事，如《地道戰(zhàn)》，《鋼鐵是怎樣煉成的》以及許多中國人創(chuàng)造發(fā)明的故事等。講一個故事，給學生講一點兒知識。就這樣，當時我班學生紀律最好，下班后，我從“紅小兵”扔掉的圖書中撿起一些教科書翻看，漸漸地將解放前后的小學教材都翻看了。我好像從中發(fā)現了一些什么問題，我又拿起《一千題詳解》、《一題多解》……開始一題一題地算起來。

　　就這樣，別人在搞斗、批、改，我卻走進了數學的小天地里。邊學習邊實踐，在學習和實踐中朦朦朧朧有了些新的想法和做法。

　　隨著社會形勢的不斷穩(wěn)定，各級領導開始抓教育質量了。下來聽課，出卷考試……對這一切我抱著非常歡迎的態(tài)度。這對我來說是最大的幫助和鞭策?？梢哉f從那時起，我教的班級的數學成績就遙遙領先。各級領導和老師們經常到我教的班級聽課，他們聽課后都感到在處理教材和教法方面有些新意。面對這些，我從沒驕傲過，因為我時時記住我的工作目的不是這一切，而是要學生成才，為祖國作貢獻，使祖國富強起來。

　　為了培養(yǎng)合格人才，從小給兒童打下良好基礎，使他們在德、智、體諸方面得到全面發(fā)展，我于1977年秋，從一年級開始，進行了小學數學教學改革的實驗。用了三年的時間使學生的數學學習質量達到相當于當時五年制小學畢業(yè)的水平。接著從1980年秋季起，又開始第二輪實驗，到1984年夏季，使學生在四年級時的數學學習質量達到相當于六年制畢業(yè)水平。在改革數學教學的實驗中，所有的講課、預習、復習、練習，都是在課內進行的，基本上不給學生布置課外作業(yè)。學生掌握的基礎知識比較鞏固，基本技能熟練，思維敏捷、靈活，學習的積極性、主動性都比較高。1980年有關部門為了檢查第一個實驗班的學習質量，曾用小學升初中的數學試題，讓實驗班(當時為三年級)學生做，結果全班平均成績達93分。1984年，學區(qū)用朝陽區(qū)小學升初中數學試題，測驗了第二個實驗班，結果全班42人，平均94分。1987年北京市教育局在全市18個區(qū)縣及燕山、北京鐵路分局所屬230所小學的400余個教學班進行推廣實驗。經過五年的實驗，取得比較明顯的成效。小學生掌握數學基礎知識更系統、更扎實了，學生解決問題的能力有了顯著提高，學習數學的興趣更濃了。學生課業(yè)負擔不重，有較充裕的時間參加自己喜歡的活動，促進了學生的全面發(fā)展。
　　在小學數學教學改革實驗中，我努力根據兒童學習過程的認知特點和規(guī)律，運用學習遷移的原理，通盤改革小學數學的教材和教法。在知識教學中，突出重點知識的教學，給基本概念、原理、法則以中心的地位，加強知識的內在聯系，適時進行滲透，使學生形成一個好的認知結構；在應用題教學中，突出能力的培養(yǎng)，把培養(yǎng)能力放在中心地位。

一、調整教材結構，促進知識遷移

　　我們以前用的教材，一般講完一個概念、一條法則，接著講一兩個例題，然后讓學生模仿做幾個練習。這種教材有兩點不足，一是從知識的傳授來說，教材雖然重視知識的系統性，但平鋪直敘，知識內部聯系不緊密，有些知識跨越程度比較大，形成大大小小的一些教學難點。二是從能力的培養(yǎng)來說，教材中練習的分配是分散的、孤立的，技能的遷移性差，難以形成能力。
　　我對小學數學教材進行改革，是分兩步走的。第一步，根據知識的內在聯系和兒童智力發(fā)展的規(guī)律，突出教材中那些最基本的概念、法則和原理，并以此為中心，從縱橫兩個方面進行重新調整和組合，把所有有關的、有聯系的知識串聯在一起，做到有綱有目，使之形成為一個新的比較好的知識結構。第二步，根據培養(yǎng)數學能力的需要，自編能力訓練的教材，充實到新的知識結構中去。改革后的教材，把能力訓練的教材，作為教材的重要組成部分，是一種知識與能力緊密結合的新教材。它既有利于知識技能的教學，又有利于培養(yǎng)和提高學生的能力。
　　小學數學的最基本的概念，就是指那些在知識與技能的網絡中，帶有關鍵性的、普遍的和適用性強的內容。如加法的概念、同樣多、差的概念、乘法的意義、小數的意義、分數的意義、倍的概念等等。抓住這些最基本概念的教學，就能使知識產生廣泛遷移，使學生學習起來容易理解，同時也有利于記憶。前面談到從縱橫兩個方面對知識進行重新調整和組合，在“縱”的方面，就是按照知識的縱向聯系，歸結為計算和應用題兩條線，并使兩條線的知識密切聯系、互相滲透?；镜母拍睢⒎▌t、原理和數學能力是線上的中心環(huán)節(jié)。抓住這些中心環(huán)節(jié)，整條線就帶動起來了。例如，百以內加減豎式計算法則，在計算這條線上，它是一個基本計算法則。重點學好百以內加減豎式計算法則，以后學習萬以內、多位數加減計算時，學生就可以運用舊知識比較容易地掌握新知識，這就是知識遷移的作用。
　　在“橫”的聯系方面，就是把教材中有橫向聯系或互逆關系的知識，編排在一起，形成許多大大小小的“塊”。例如，把十一類一步應用題組成一大“塊”，把多位數加減與小數、分數、百分數加減，多位數乘除和小數乘除、分數和百分數應用題等分別分成不同的“塊”。十一類一步應用題這一大“塊”，又分為四小“塊”，即把原教材中屬于“求和”、“求剩余”的內容編為一塊；把屬于比較兩個數多少的應用題編為一塊；把屬于“求相同加數的和的乘法應用題和相應的除法應用題編為一塊；把屬于比較兩數倍數關系的應用題編為一塊。然后以基本的概念法則為中心，一塊一塊地進行教學。例如比較兩個數多少的應用題，這一小塊內容，“同樣多”和“差”的概念就是學習這一塊知識的基本概念。
　　這樣以基本概念、原理、法則為中心，從縱橫兩個方面對原教材從結構上進行了調整和組合，形成了一個新的教材知識結構。

二、突出概念教學，重視形成知識結構

(一)知識概念教學
　　改革教材，主要是對原有教材重新進行調整和組合。這就使教材有了一個比較好的知識結構。而要把知識的基本結構教給學生，關鍵在于要有好的教學方法，我根據兒童的認知特點，在教法改革中充分運用知識遷移的原理，突出基本概念的教學，加強知識間的內在聯系，適時進行滲透，使前面的學習為順利地學習后面的知識打好基礎，把新舊知識聯系起來，使學生形成一個最佳的認知結構。這里不是一般地教給學生一個個知識，而是教給學生知識的基本結構。這種把教知識變?yōu)榻讨R結構，是我在教學中特別重視的環(huán)節(jié)。
　　首先，突出基本概念的教學。對于基本概念、法則、原理的教學，我常常采用的方法是讓學生擺一擺，畫一畫，說一說，自己動手操作、練習；邊觀察、邊說、邊思考，做到眼、手、口、腦并用，使概念的形成經過形象化感知、外部言語、再到內部言語這樣一個過程。一般來說，對基本概念的講解、推導，不急于求成，一節(jié)課不夠用，就增加時間，直到學生真正理解，牢固掌握，能舉一反三為止。例如，學生初學“10以內數的認識和加減法”這部分知識時，重點抓“和”的概念的教學。從實物和圖畫入手，讓學生把手中的蘋果和梨放在一起，數一數共有幾個水果；把桌上的紅粉筆和白粉筆放在一起，數一數有幾支粉筆；把長方體的糖和球體的糖放在一起，數一數一共是多少，……然后又拿出色彩新穎的圖片，如猴山上的大猴和小猴，草地上的山羊和綿羊，汽車場上的大汽車和小汽車，等等。通過大量的實物、圖片演示，學生對“和”的概念就理解和掌握了。學生掌握了“和”的概念，就為學習10以內數的加減法和有關知識打下了基礎。對于一些比較抽象的基本概念，則寓教學于日常的活動之中，使學生對教材有生動形象化的感知。例如，在講解相遇問題時，為了使學生理解“同時”、“不同地”、“相遇”、“相向而行”、“相背而行”等概念，帶著學生到操場上做一些活動。把學生分為兩隊，分別站在操場兩邊。教師說“走”，兩隊同時相對行走讓學生形象地理解“同時”、“相對”的含義。當兩隊遇上時，教師叫“?！?，告訴學生這是“相遇”，同時讓學生觀察這時各自走的路程的長是多少，理解在同一時間內兩隊各走的“距離”。這些知識都是相遇問題的難點。學生有了感性認識后，回到課堂上講相遇問題時，就能迎刃而解了。
　　其次，加強知識的訓練，形成知識網絡?？茖W概念反映客觀事物的內在聯系，越是基本的概念，它所反映事物的聯系就越廣泛、越深刻。突出基本概念的教學，不是說可以不去注意一般的知識，相反，而是要以最基本的概念為中心，在對概念的理解，運用和深化的過程中，不斷把有關知識聯系起來，以綱帶目，以點帶面，形成知識網絡。這種聯系緊密的知識，就為遷移創(chuàng)造了良好的條件，學生就能比較順利地理解和掌握新知識。
　　例如，進行“同樣多”這個基本概念教學，可以在逐步加深理解的過程中引出一系列有關新知識，得到新認識，使一個個相關知識聯系起來。在比較數的大小過程中，學生建立起“同樣多”的概念，以它為中心，學習了“求兩數相差”、“求比一個數多幾的數”、“求比一個數少幾的數”這樣一組應用題。接著把“同樣多”概念納入加減的計算中，在計算2+2+2，5+5等一類練習題中，引導學生觀察加數都相同的特點，進而引出新的概念：“相同加數”和“相同加數的個數”，為學習乘法意義打下基礎。在學習除法意義時，還以“同樣多”為主線，繼續(xù)引申認識平均分的意義，從而學習了除法的意義。這樣，以“同樣多”這個基本概念，使有關知識連成線，形成塊，連成網，形成一個較好的知識結構。因此，使這部分知識學習起來變得容易些，理解也比較深刻。
　　第三，適時進行滲透。在學習過程中，有些知識前后聯系不緊密，有些新知識跨越程度比較大，學生不容易掌握，成為知識的難點。對于這些新知識，怎樣使前面的學習能為后面學習作準備，怎樣使新舊知識聯系起來，使遷移能順利地進行呢？這就需要在新舊知識之間，架起聯系的橋梁。這種在前面學習時為后面學習某些知識的“架橋”工作，也就是為學習某些新知識作了準備，就是滲透。滲透要注意時機，要結合學習前面的知識自然地進行；滲透的內容要適度，做到使學生通過遷移順利地掌握新知識即可。
　　例如：教學乘法分配律(兩個數的和與另一個數相乘，可以用這兩個數分別與這個數相乘，再把乘得的兩個積相加)是教學中的難點，需要在前面學習某些知識時適時逐漸地進行滲透。在學習數的認識時進行滲透，如24=20+4，要讓學生理解后會說：24是由2個十、4個一組成，20與4這兩個數的和是24。這樣就為學習乘法分配律中的“兩個數的和與一個數相乘”進行了滲透。在學習乘法意義時，又進行滲透，如34×12，讓學生逐步明白：10個34加上2個34就是12個34，這樣既加深了對乘法意義的理解，又為學習乘法分配律進行了滲透。再如應用題教學中，培養(yǎng)學生掌握應用題結構的能力是教學的難點，需要及早地不斷地進行滲透。我在教“10以內數的認識”時，就開始有目的地滲透簡單一步應用題結構的知識。如，講“3”的時候，先拿出兩輛汽車的圖形，又拿出一輛汽車的圖形，接著演示說：“停車場原有兩輛汽車，又開來一輛，停車場共有幾輛汽車？”然后，讓學生學著說。這里不是單純講“3”，還使學生對一步應用題是由兩個條件、一個問題構成的基本結構有個初步的印象。
　　由此可見，教法改革的立足點，是以遷移為中心，教給學生知識的基本結構，使學生的頭腦中形成一個最佳的認知結構。突出基本概念的教學，以基本概念為中心，不斷運用概念，引申概念，加強知識內部的聯系，對于那些前后聯系不緊密、學習難度大的知識，適時地不斷地進行滲透，在多種聯系和不斷滲透中突出重點，回到最基本的概念、原理。這樣既掌握了重點知識，又理解了一般知識。我從教改實踐中體會到，學習知識的基本結構，即懂得基本原理，使得知識更容易理解；有利于記憶；能使知識、技能、方法得到廣泛遷移。一句話，學習和掌握知識結構能使學生學習起來容易些，理解深些，學得快些。這不正是我們教改追求的目標嗎？

三、應用題教學，重在能力培養(yǎng)
　　應用題是小學數學教學的重點，也是個難點。對于各種各類應用題，過去的教材內容比較分散，教學時間長，教師只能一類一類問題地教，一個一個例題地講，學生反反復復地練。這種教學方法，偏重技能的訓練，沒有突出能力的培養(yǎng)，結果學生負擔重，教學效果不佳。
　　能力是什么？能力是與活動聯系在一起的，從事任何活動都必須具備相應的能力。每一種活動都對人的心理過程、分析的能力、反應的速度、個性的特征提出某些要求。能力就是人的這些心理特征，符合于相應活動的要求，并且是順利地、高質量地完成這種活動的條件。我在改革教材的基礎上，對應用題的教學，突出地抓住了數學能力的培養(yǎng)。在培養(yǎng)能力方面，主要有三個特點：
(一)抓住特殊能力--數學能力的培養(yǎng)
　　近十年來，許多教師對教學進行改革，重視能力的培養(yǎng)，注意培養(yǎng)學生的觀察能力、思維能力、想象能力、記憶能力等。我覺得這些能力屬于一般能力。而學生的學習活動是分學科進行的，不同學科還有不同的特殊能力。如語文能力、數學能力、生物能力、音樂能力等等。我們要使培養(yǎng)能力的教學改革深入下去，取得更好的成效，就不能停留在培養(yǎng)一般能力，而要深入到學科，根據學科本身的特點，研究如何培養(yǎng)學科的能力。這是培養(yǎng)能力如何深入的一個重要問題。我注重抓住特殊能力——數學能力的培養(yǎng)。我根據小學生智力發(fā)展的特點，主要培養(yǎng)掌握數學問題結構的能力、邏輯思維能力，思維的靈活性和數學概括能力。以掌握數學問題結構的能力為例。什么叫數學問題結構？通常人們在解答一個問題前，必須先了解這個問題，分析這個問題，找出問題的已知條件和要求，這就要進行分析、綜合研究條件之間的關系，條件與問題之間的關系，然后把這些成分綜合成一個整體，抓住問題中具有本質意義的那些關系。這就是抓住了數學問題的結構。“能力強的學生拿到一道數學題時，一眼就看出了問題的結構，就能把已知條件聯系起來，而數學能力平常的學生遇到一類新問題時，一般說來，他們只是感知問題孤立的數學成分，并不理解這個問題。對于平常的學生來說，特別重要的是要能通過分析和綜合過程把問題的各種成分聯系起來?！?克魯切茨基《中小學生數學能力心理學》252、254頁)我在教一步應用題時，就著重地抓了數學問題結構的訓練。如畫線段圖的訓練，補充問題與條件的訓練，題意不變改變敘述方法的訓練，自編應用題的訓練，根據問題說出所需條件的訓練，對比訓練等。在講兩步應用題時，重點上了兩步應用題的“結構課”，同時進行變直接條件為間接條件，變換問法，讓學生擴題、縮題、拆題，看問題要條件等四個方面的訓練。講多步復雜應用題時，又進行了多步應用題的“發(fā)散思維課”及相應的各種訓練。通過一系列的教學和訓練，使每個學生都掌握了應用題結構的能力。
(二)重視解題思路的訓練
　　應用題之所以難學，問題本身一般比較復雜是一個原因，但從教學法來說，更重要的是解題思路(思維過程的順序、步驟與方法)缺乏應有的訓練，使許多學生感到問題無從下手，不知道怎樣去想。對于這一點，我們只要把它同計算題作一比較，就清楚了。如做計算題時，學生對運算法則、運算順序和步驟，都是清清楚楚的。學生的思維過程同運算順序是一致的。計算的每一步都在式子里反映出來，看得見、摸得著，學生計算得對與錯一目了然。計算題通過訓練學生容易掌握。而解應用題就不同了，學生要了解題意，分析條件與條件之間，條件與問題之間的各種數量關系，要通過分析、綜合，找到解題的途徑和方法。從審題到列出式子，思維過程少則也有幾步，都是用內部言語的形式進行的。這種用內部言語進行的思維過程，教師既難以知道學生的思維是否合理、正確，有無錯誤，更難以進行有針對性地訓練。對于這樣的問題，我根據學生智力活動的形成是從外部言語到內部言語這個特點，在應用題教學中設計了一套教學方法，使學生的解題思維過程化，有計劃有步驟地訓練學生的解題思路。下面是我的訓練方法：
　　1．讀題。通過讀題使學生理解題中的情節(jié)和事理，知道題中講的是什么事；已知條件中，哪個是直接條件，哪個是間接條件，條件與條件、條件與問題是什么關系。讀題的過程，就是了解題意的過程。
　　2．畫批。就是把題中的重點詞、句和思維分析、判斷的結果，用文字、符號(箭頭、著重點、圓圈、橫直線、曲線等)劃出來，主要目的是為了了解每個數量的意義及數量間的內在關系。
　　3．畫圖。就是畫線段圖，用線段把題中所講的各個數量及其相互關系表示出來，直觀地、形象地反映應用題的數量關系。
　　4．說理。說理就是在分析解答應用題的過程中，讓學生用清晰、簡潔、準確的語言，說出自己分析解答應用題的思維過程及相應的道理。
　　通過上述讀、畫、說，學生把解題的內在思維過程，變?yōu)橥庠诘谋憩F形式，這就非常有利于訓練、培養(yǎng)學生解題過程中思維的有序性和合理性，有利于培養(yǎng)學生邏輯思維的能力，解決了應用題教學中的一大難點。
(三)以培養(yǎng)數學能力為中心，進行系統的訓練
　　我在應用題教學中，改變了那種一類一類問題地教、一個一個例題地講的教學方法，以培養(yǎng)數學能力為中心，重新設計編排一套練習，反復地系統地進行訓練。這種訓練的目的不是停留在一問一答單純解題式的技能訓練，而是著眼于培養(yǎng)舉一反三和思維的靈活性，形成數學能力。因此，在我的重新編排的練習題中，不僅有問題的解答訓練，而更多的是各種思維訓練：有擴題、縮題、拆題、編題的訓陳，還有發(fā)散思維訓練，對比訓練，一題多變訓練，一題多解的訓練，系統思維訓練等。為了進行這些訓練，我采用了“結構課”、“思維分析課”、“變式課”、“發(fā)散思維課”等形式的教學結構和一系列培養(yǎng)能力的教學方法。下面，以兩步應用題的“變式課”為例，說明我是怎樣進行思維訓練的。
　　“變式課”的教學，有五種基本做法。
　　1．改變敘述方法。就是題意不變，僅改變題中某些詞、句的敘述方法。
　　2．改變重點詞語。重點詞語是連接條件與條件，條件與問題的紐帶。它是引導學生理解題意，分析數量關系，尋求解題方法的主要線索。
　　3．改變條件。就是把直接條件改變成間接條件，把間接條件改變成直接條件，應用題的問題不變。
　　4．改變問題。就是條件不變，只改變應用題的問題。改變應用題的問題，不僅使題意發(fā)生了變化，而且使解題的思路和具體方法都隨之發(fā)生了變化。
　　5．改變條件和問題。就是把應用題中的條件(直接條件或間接條件)改變成問題，把問題改變成條件(直接條件或間接條件)，使題意大變。從而導致分析方法、解題方法的改變。
　　“變式課”的教學過程，就是數量關系不斷進行變化的過程。由于“變式課”形式的多樣性、靈活性和復雜性，有利于培養(yǎng)學生思維的廣闊性、靈活性和深刻性。思維越廣闊，變的途徑就越多；思維越靈活，變的式樣就越新穎；思維越深刻，變的內容就會越復雜。所以“變式課”的教學，有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質。
　　能力永遠指的是某種活動的能力，能力只能在活動中形成。能力不僅是知識、技能的掌握，而具有心理過程的個性特征，這種心理特征是在掌握知識、技能的過程中發(fā)展和形成的。培養(yǎng)數學能力就要通過數學知識的運用和練習來進行，光靠教師的講解，是培養(yǎng)不出能力來的。正因為如此，培養(yǎng)能力的教學，一是改革教材，重新編排練習，并使練習成為教材的重要組成部分；二是改革教法，重在選用培養(yǎng)能力的教學方法。